Ecuaciones de segundo grado

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

donde los valores de a y de b son distintos al numero cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

,

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Para mayor información puedes consultar http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm